Kronecker delta(크로네커 델타) function ${\delta _{ij}}$은 다음과 같이 정의됨.
$${\delta _{ij}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\rm{if \;}}i = j}\\0&{{\rm{if \;}}i \ne j}\end{array}} \right.$$
여기서 $i, j$는 non-negative integer이다.
이는 전형적인 piecewise 함수이며, 이를 이용하면 특정한 지표를 고를 수 있는 성질이 있다.
예를 들어,
대각선의 원소가 1이고 나머지는 0인 identity matrix $I$의 원소이고,
2개의 벡터의 inner product를 다음과 같이 표현 할 수 있게도 한다.
$${\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_i}} {\delta _{ij}}{b_j}$$
변수가 1개인 특별한 경우에는 다음과 같이 정의함.
$${\delta _{i}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\rm{if \;}}i = 0}\\0&{{\rm{if \;}}i \ne 0}\end{array}} \right.$$
이것은 제어, 신호처리 분야에서 말하는 임펄스(impulse) 혹은 단위 임펄스(unit impulse)라 부르는 함수이다.
그리고 function의 결과가 $0, 1$말고 $-1, 0, 1$인 일반화된 Kronecker delta 함수도 있으니, 필요하면 아래 링크의 위키피디아를 살펴볼 것.